Opis
Korepetycje z granicy ciągu rozpoczniemy od przypomnienia intuicyjnego pojęcia asymptoty.
Pamiętasz, że hiperbola o wzorze $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ posiada dwie asymptoty $x=p$ i $y=q$. Wykres zbliża się do nich dowolnie blisko. Jednak, nie posiada punktów wspólnych, z którąkolwiek z nich.
Po pierwsze, przeanalizujemy ciągi o wykresach, które mają przebiegi wskazujące na to, że istnieje „jakaś” pozioma prosta $y=g$ o charakterze asymptoty. Nazwiemy liczbę $g$ granicą (właściwą) ciągu. Wprowadzimy nowe oznaczenie tego faktu w odniesieniu do granicy $g$ ciągu $\ciag{a}$: $g = \lim_\limits{n\to\infty} a_n$.
Wykonamy wykresy kilku ciągów i postaramy się wskazać takie liczby $g$, które spełniają wymagania, aby być granicami tych ciągów. Staraj się nie zwracać uwagi na (początkowo) mało formalne podejście oparte o intuicję.
Zapoznamy się z przykładem ciągu o wyrazie ogólnym $a_n=1+\frac{1}{n}$. Wykonamy wykres tego ciągu i określimy intuicyjnie wartość jego granicy $g$. Poprowadzimy, dwie proste równoległe do prostej $y=g$, w jednakowej odległości $\varepsilon > 0$ nad $y=g+\varepsilon$ i pod $y=g-\varepsilon$ tą prostą. Zauważymy, że zmniejszając dowolnie $\varepsilon$ zawsze znajdziemy takie wyrazy ciągu, których wartości mieszczą się w wyznaczonym przez proste pasie. Ponadto, tych wyrazów jest nieskończenie wiele, bo gdy znajdziemy pierwszy taki wyraz, to wszystkie następne znajdują się we wspomnianym pasie.
Podamy formalną definicję granicy ciągu. Ponadto, o ciągu posiadającym granicę $g$ będziemy mówić, że jest zbieżny do $g$.
Poznamy twierdzenie o granicach ciągów o wyrazach ogólnych $a_n = q^n$ i $ a_n=\sqrt[n]{c}$.
Podamy wzory ogólne ciągów o granicach $g=0$.
Poznamy twierdzenie o granicu ciągu o wyrazie ogólnym $a_n = \frac{1}{n^k}$.
Ciąg stały ma granicę równą wspólnej wartości swoich wyrazów.
Dowiemy się, że ciąg naprzemienny $a_n = (-1)^n$ nie posiada granicy. Ponadto, zapamiętamy, że ciąg może mieć tylko jedną granicę.
Korepetycje z granicy ciągu zakończymy rozwiązując zadania związane z tematem spotkania.
