Opis
Korepetycje z miary łukowej kąta rozpoczniemy od przypomnienia tematu Kąt obrotu. Pamiętasz, że do określania miar kątów mniejszych niż $1°$ stosujemy jednostki: minuta kątowa $1^{\prime}=\frac{1°}{60}$, sekunda kątowa $1^{\prime\prime}=\frac{1^\prime}{60}$.
Tradycyjne jednostki miar kątów: stopnie, minuty kątowe i sekundy kątowe są mocno zakorzenione. Natomiast, ten sposób określania wielkości kąta ma również wady. Przykładowo, podczas obliczeń konieczne jest przeliczanie części stopnia wyrażonych ułamkiem dziesiętnym na minuty i sekundy kątowe.
Zdefiniujemy jednostkę miary kąta pozbawioną opisanej wady. Warto przy tym posłużyć się kątem środkowym. Powiemy, że kąt środkowy ma miarę jednego radiana, gdy wycina z okręgu łuk o długości równej promieniowi tego okręgu.
Pamiętasz, że liczbę niewymierną $\pi$ definiujemy jako stosunek długości okręgu do długości jego średnicy: $\pi=\frac{L}{D}=\frac{L}{2r}$. Prowadzi to do wzoru na długość okręgu: $L=2\pi r$.
Zauważymy, że w radianach:
- kąt pełny ma miarę: $360°=\frac{2\pi r}{r}\rad = 2\pi\rad\approx 6{,}28\rad$,
- kąt półpełny ma miarę: $180°=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2 \pi r}{r}\rad = \pi\rad\approx 3{,}14\rad$,
- kąt pełny ma miarę: $90°=\frac{\frac{1}{4}\cdot 2 \pi r}{r} \rad= \frac{1}{2} \pi\rad\approx 1{,}57\rad$.
Użyjemy wprowadzonej jednostki do zapisania związków między wartościami funkcji trygonometrycznych kątów o wspólnym ramieniu końcowym ($k\in\ZZ$):
$\sin\left(\alpha + k\cdot 2\pi\right) = \sin \alpha$
$\cos\left(\alpha + k\cdot 2\pi\right) = \cos \alpha$
$\tg\left(\alpha + k\cdot 2\pi\right) = \tg \alpha$
$\ctg\left(\alpha + k\cdot 2\pi\right) = \ctg \alpha$
Korepetycje z miary łukowej kąta zakończymy rozwiązując zadania związane z tematem spotkania. Doświadczenie uczy, że miara łukowa nie dla wszystkich jest intuicyjna. Jednakże, przyswojenie nowej jednostki miary kąta jest ważne. Radiany oraz liczba niewymierna $\pi$ są nierozerwalnie złączone z treścią kolejnych tematów.
